Indice

1 Integrales

Integrales

Introducción

Las integrales se remontan a más de 2000 años cuando los griegos intentaban resolver el problema del área. ¿Cuál era ese problema?

Los griegos estaban cegados con calcular el área de todo tipo de figuras. Para calcular el área de cualquier polígono no tenían mayor problema, era algo sencillo. Lo único que tenían que hacer es dividir el polígono en triángulos y calcular el área de estos. Pero, ¿qué pasaba si la figura a la que querían calcular su área era curva?. Para ello se desarrolló el método de exhausción en el que una figura curva se aproxima por medio de poligonales. No obstante, solo podían tener una aproximación del área buscada.

Con el paso de los años está técnica se fue perfeccionando y finalmente nace el cálculo integral. Realmente, una integral es una suma donde intervienen infinitos sumandos.

El cálculo integral también es conocido como antiderivación, debido a que la integración es el proceso inverso a la derivación. Es por eso que para poder dominar este tema es de gran ayuda que tengas un bagaje con las derivadas.

Procedamos a definir y ver algunas propiedades de las integrales.

Definición y Propiedades

Dada una función $f(x)$ real de variable real, se llama integral de $f(x)$ y se denota como $\int f(x)dx=F(x)$ cumpliéndose que $F'(x)=f(x)$ .

A la función $F(x)$ se le llama primitiva y siempre le añadimos una constante $C$ . Quedando

$\int f(x)dx=F(x)+C$

¡Nota! Hay que poner siempre el diferencial de x (“dx”) que nos indica sobre que variable estamos integrando y una constante “C” sumando en el resultado.

Veamos dos propiedades que tenemos que aplicar siempre que se pueda antes de calcular las integrales.

Propiedad 1: $\int k\cdot f(x)dx=k\cdot \int f(x)dx$ (Si hay una constante multiplicando la sacamos fuera de la integral)
Propiedad 2: $\int [ f(x)\pm g(x)] dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx$ (Se divide en sumandos para simplificar el cálculo)

Integrales Inmediatas

Las integrales inmediatas son las integrales de las funciones elementales. Vamos a verlas en forma de tabla, esta tabla habrá que sabérsela de memoria.

Funciones	Funciones Compuestas
$\int dx=x+C$	$\int f'(x)dx=f(x)+C$
$\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$	$\int f(x)^n \cdot f'(x)dx=\dfrac{f(x)^{n+1}}{n+1}+C$
$\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}} dx=\sqrt{x}+C$	$\int \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} dx=\sqrt{f(x)}+C$
$\int \dfrac{1}{x}dx=\ln \|x\|+C$	$\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln \|f(x)\|+C$
$\int e^x dx= e^x+C$	$\int e^{f(x)}\cdot f'(x) dx= e^{f(x)}+C$
$\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a}+C$	$\int a^{f(x)}\cdot f'(x) dx = \dfrac{a^{f(x)}}{\ln a}+C$
$\int \sin x dx = -\cos x+C$	$\int f'(x)\cdot\sin f(x)dx = -\cos f(x)+C$
$\int \cos x dx= \sin x+C$	$\int f'(x)\cdot\cos f(x) dx= \sin f(x)+C$
$\int \tan x dx = -\ln \|\cos x\|+C$	$\int f'(x)\cdot\tan f(x) dx = -\ln \|\cos f(x)\|+C$
$\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$	$\int \dfrac{f'(x)}{1+f(x)^2}dx=\arctan f(x)+C$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$	$\int \dfrac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}}dx=\arcsin f(x)+C$

¡NOTA! Si realmente te fijas en la tabla, es prácticamente igual a la tabla de derivadas, si leemos las igualdades de izquierda a derecha. En la columna de funciones compuestas puedes observar que es necesario que este multiplicando la derivada ( $f'(x)$ ) ya que se debe cumplir la Regla de la Cadena.

Veamos un ejemplo de algunas de ellas.

Ejemplos

$\int 3 dx= 3\int dx=3x+C$

Hemos aplicado la Propiedad 1 y hemos resuelto la integral inmediata.

$\int (4x^2+5x+2) dx=4\int x^2dx+5\int x dx+2\int dx=$

$4\int x^2dx+5\int x dx+2\int dx=4\dfrac{x^3}{3}+5\dfrac{x^2}{2}+2x+C$

Hemos aplicado la propiedad 1 y 2, y luego hemos resuelto las integrales inmediatas.

Es normal que al principio tengas que estar mirando la tabla continuamente para poder resolverlas. Para llegar a dominar el tema deberás de hacer muchas.

$\int\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x}}dx=\int\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}dx+2\int\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx=\int x^2x^{\frac{-1}{2}}dx+2\int x^{\frac{-1}{2}}dx=$ $\int x^{\frac{3}{2}}dx+2\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\dfrac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 \dfrac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=$ $\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+2 \dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C$ $=\dfrac{2}{5}\sqrt{x^5}+4\sqrt{x}+C$

Hemos aplicado la propiedad 1 y 2, hemos pasado los radicales a potencias y operado, una vez así hemos integrado.

$\int \dfrac{4x}{x^2+3}dx=4\int \dfrac{x}{x^2+3}dx=$ $\dfrac{4}{2}\int \dfrac{2x}{x^2+3}dx= 2\ln|x^2+3|+C$

El numerador es casi la derivada del denominador sólo habría que multiplicarla por 2. Pues bien, lo que hemos hecho es una pequeña transformación, multiplico dentro por 2 y divido fuera por 2, quedando así lo que estaba buscando. Una vez así derivo fijándome en la tabla.

Estarás observando que tienes que aplicar tus conocimientos en álgebra para buscar las expresiones que tienes en la tabla de integrales inmediatas.

$\int \sin(2x-1)dx=\dfrac{1}{2}\int 2\sin(2x-1)dx=-\dfrac{1}{2}\cos(2x-1)+C$

Hemos hecho lo mismo que en la anterior hemos multiplicado y dividido por 2 para que se cumpliese la regla de la cadena.

$\int \dfrac{5}{1+(4x)^2}dx=\dfrac{5}{4}\int \dfrac{4}{1+(4x)^2}dx=\dfrac{5}{4}\arctan 4x +C$

Hemos aplicado la propiedad 1 y luego hemos multiplicado y divido por 4 para obtener la expresión deseada basándonos en la tabla.

Métodos de Integración

Hay muchas integrales que no se pueden resolver de manera inmediata y habrá que aplicar ciertos métodos o técnicas un poco más complejas. Veamos algunos de los métodos más utilizados.

Cambio de Variable

El método de cambio de variable o método de sustitución consiste como bien indica su nombre en cambiar la variable “x” por otra variable, por ejemplo, “t”. A la hora de llevar a cabo este cambio tenemos que tener en cuenta que tenemos que sustituir tanto “x” como “dx”.

Una forma sencilla de hacerlo es sustituir una parte de la función a integrar por “t” y derivar ambos miembros de la igualdad para poder sustituir “dx” por “dt”.

Al realizar este cambio lo que se pretende es obtener una integral inmediata que seamos capaces de resolver. Una vez resuelta habría que deshacer el cambio.

Veamos unos ejemplos para ver si así queda más claro.

Ejemplos

$\int \sin x \cos^4 x dx$ Hacemos el cambio de $\cos x = t$ y si derivamos tenemos que $-\sin x dx= dt\Rightarrow dx=-\dfrac{dt}{\sin x}$

Entonces una vez obtenido lo que vale “t” y “dt” sustituyo en la integral quedando lo siguiente:

$\int \dfrac{\sin x\cdot t^4 dt}{-\sin x}=-\int t^4 dt = -\dfrac{t^5}{5}$ Una vez aquí habrá que deshacer el cambio $-\dfrac{cos^5 x}{5}+C$

Resultado: $\int \sin x \cos^4 x dx = -\dfrac{cos^5 x}{5}+C$

$\int \dfrac{x+1}{\sqrt{x}}dx$ Para resolverla hacemos el siguiente cambio $x=t^2\Rightarrow dx=2t dt$

$\int \dfrac{x+1}{\sqrt{x}}dx=\int \dfrac{t^2+1}{\sqrt{t^2}}2t dt=\int 2(t^2+1) dt=$ $2\int t^2 dt+2\int dt = 2\dfrac{t^3}{3}+2t$ Deshaciendo el cambio tenemos que $t=\sqrt{x}$ entonces

$2\dfrac{\sqrt{x}^3}{3}+2\sqrt{x}$ .

Resultado: $\int \dfrac{x+1}{\sqrt{x}}dx=2(\dfrac{(\sqrt{x})^3}{3}+\sqrt{x})+C$

Como habrás observado este método es sencillo en el procedimiento pero un poco complicado a la hora de que se te ocurra el cambio de variable que hacer. Lo dicho anteriormente, cuantas más integrales hagas más fácil verás este tipo de cambios.

Integración por Partes

Este método al igual que el anterior hay que hacer una serie de cambios de variables. Es un método muy utilizado y le suele gustar mucho al alumnado. Para llevar a cabo este método hay que aprenderse la siguiente fórmula.

$\int u\cdot dv = u\cdot v - \int v\cdot du$

Para aprenderse esta fórmula se suele utilizar la siguiente frase sin sentido.

“Un Día Ví Una Vaca sin rabo Vestida De Uniforme”

Si te quedas con la primer letra de cada palabra obtienes la fórmula… (Sin comentarios jajaja) Realmente la fórmula procede de la regla del producto en la derivación.

Ya te puedes ir imaginando que a una parte de la integral la vamos a llamar “u” y al resto “dv”. Para hacer una buena elección de a quien vamos a llamar “u” y a quien “dv” vamos a seguir la regla de los ALPES. Se hace en el siguiente orden:

A = Funciones arco

L = Funciones logarítmicas

P = Funciones Polinómicas

E = Funciones Exponenciales

S = Funciones Trigonométricas

Una vez aplicado los cambios habrá que derivar “u” para obtener “du” y habrá que integral “dv” para obtener “v”. El proceso se sigue hasta llegar a una integral inmediata o hasta que nos aparezca una integral cíclica.

Ejemplos

$I=\int e^{-x}\cdot (x^2-3x)dx$ Aplicando la regla de los Alpes tenemos

$u=x^2-3x\Rightarrow du=(2x-3) dx$ y $dv=e^{-x}\Rightarrow v=-e^{-x}$

Sustituyendo en la fórmula tenemos lo siguiente:

$I=\int e^{-x}\cdot (x^2-3x)dx=(x^2-3x)(-e^{-x})-\int -e^{-x}(2x-3) dx=$ $-e^{-x}(x^2-3x)+\int e^{-x}(2x-3) dx$ Una vez llegado a este punto nos damos cuenta que nos ha quedado otra integral que sigue sin ser inmediata, habría que resolverla aplicando otra vez el mismo procedimiento

$\int e^{-x}(2x-3) dx$ Aplicando la regla de los Alpes a esta nueva tenemos

$u=2x-3\Rightarrow du=2 dx$ y $dv=e^{-x}\Rightarrow v=-e^{-x}$

Sustituyendo en la fórmula tenemos lo siguiente:

$\int e^{-x}(2x-3) dx=-e^{-x}\cdot (2x-3)+2\int e^{-x}$ una vez llegado aquí observamos que la integral que nos queda es inmediata.

$\int e^{-x}(2x-3) dx=-e^{-x}\cdot (2x-3)+2\int e^{-x}=-e^{-x}\cdot (2x-3)-2\cdot e^{-x}$

Volviendo atrás y sustituyendo

$I=\int e^{-x}\cdot (x^2-3x)dx=-e^{-x}(x^2-3x)-e^{-x}\cdot (2x-3)-2\cdot e^{-x}$

Integración de Funciones Racionales

Sea una función racional de la forma $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios. Quedando la integral de la siguiente forma:

$\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}dx$

Para resolver este tipo de integrales vamos a proceder dependiendo del grado del numerador y del denominador. Diferenciando los siguientes casos:

Caso 1: Si $Grad(P(x))\geq Grad(Q(x))$ entonces:

Lo primero que tendremos que hacer en este caso es dividir los polinomios y expresar $\dfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$ , donde $C(x)$ es el cociente y $R(x)$ es el resto de la división. Por tanto, quedaría la integral como

$\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}dx=\int C(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}dx =\int C(x)dx+\int \dfrac{R(x)}{Q(x)}dx$

La integral $\int C(x)dx$ sería inmediata puesto que $C(x)$ es un polinomio, y para $\int\dfrac{R(x)}{Q(x)}dx$ se resolvería como se explica en el siguiente caso, ya que se cumpliría que el grado del numerador es menor que el denominador.

Caso 2: Si $Grad(P(x)) < Grad(Q(x))$ entonces habrá que seguir los siguientes pasos:

Factorizamos el denominador. (Sacando las raíces del polinomio)
Descomponemos $\dfrac{R(x)}{Q(x)}$ en fracciones simples para separar en sumas la integral.
Dependiendo de la factorización de $Q(x)$ se nos pueden presentar varios casos:

- Caso 1. Todas las raíces son simples.

Si $Q(x)=(x-a)(x-b)\cdot ... \cdot (x-d)\Rightarrow \dfrac{R(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}+...+\dfrac{D}{x-d}$

Lo que supondría simplificar bastante los cálculos, ya que este tipo de integrales son inmediatas. Si nos fijamos en la tabla estaríamos hablando de logaritmo neperiano.

No obstante, habrá que calcular el valor de A, B, … resolviendo un pequeño sistema. Veamos un ejemplo de como se hace.

Ejemplo

$\int \dfrac{2x-1}{x^2-1}dx$ Sacamos las raíces del denominador y para ello igualamos a 0.

$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1\Rightarrow x^2-1=(x+1)(x-1)$ que se pondrían como dos fracciones simples

$\dfrac{2x-1}{x^2-1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-1}$ Realizamos el m.c.m para quitar denominadores y obtener la ecuación.

$2x-1=A(x-1)+B(x+1)$ Le damos dos valores distintos a x para obtener dos ecuaciones dependientes de A y B. Luego resolveremos la ecuación o sistema generado. A la hora de darle valores es recomendable utilizar el valor de las raíces.

- - Si $x=-1\Rightarrow -3=-2A$
  - Si $x=1\Rightarrow 1=2B$

Por tanto, tendríamos que $A=\dfrac{3}{2}$ y $B=\dfrac{1}{2}$ , y ya podríamos escribir nuestra integral.

$\int \dfrac{2x-1}{x^2-1}dx=\int \dfrac{\frac{3}{2}}{x+1}dx+\int\dfrac{\frac{1}{2}}{x-1}dx$ Siendo integrales inmediatas

$\dfrac{3}{2}\int \dfrac{1}{x+1}dx+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{x-1}dx= \dfrac{3}{2}\ln |x+1|+\dfrac{1}{2}\ln |x-1|+C$

Caso bastante sencillo, veamos el siguiente:

- Caso 2. Hay raíces múltiples.
Cuando $Q(x)$ tiene alguna raíz múltiple (se repiten varias veces). Sea por ejemplo, $x=a$ una raíz con multiplicidad 3, tendríamos lo siguiente

Si $Q(x)=(x-a)^3(x-b)\cdot ... \cdot (x-d)\Rightarrow$

$\dfrac{R(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\dfrac{A_3}{(x-a)^3}+\dfrac{B}{x-b}+...+\dfrac{D}{x-d}$

Aparece una fracción por cada potencia de la raíz, y la forma de proceder sería la misma que en el caso anterior.

Ejemplo

$\int \dfrac{x^2+3}{x^4-x^3}dx$ Sacamos las raíces del denominador $x^4-x^3=0\Rightarrow x^3(x-1)=0$

Tendríamos $x=0$ raíz múltiple, se repite 3 veces. Y $x=1$ raíz simple. Descomponemos en fracciones

$\Rightarrow \dfrac{x^2+3}{x^4-x^3}=\dfrac{A_1}{x}+\dfrac{A_2}{x^2}+\dfrac{A_3}{x^3}+\dfrac{B}{x-1}$ Eliminamos denominadores haciendo el m.c.m

$x^2+3=A_1 x^2(x-1)+A_2 x(x-1)+A_3 (x-1)+B x^3$ Le damos los valores de las raíces y otro dos más que queramos. (tantos como incógnitas haya).

- - Si $x=0\Rightarrow 3=-A_3\Rightarrow A_3=-3$
  - Si $x=1\Rightarrow 4=B\Rightarrow B=4$
  - Si $x=2\Rightarrow 7=4A_1+2A_2+A_3+8B$ Aplicando lo ya calculado $7=4A_1+2A_2-3+32\Rightarrow 4A_1+2A_2=-22$
  - Si $x=-1\Rightarrow 4=-2 A_1+2A_2-2A_3-B$ Aplicando lo ya calculado $4=-2A_1+2A_2+6-4\Rightarrow -2A_1+2A_2=2$

Resolviendo el sistema de ecuaciones resultantes obtenemos los siguiente resultados:

$A_1=-4,\quad A_2=-3, \quad A_3=-3,\quad B=4;$

y sustituyendo obtenemos:

$\int\dfrac{x^2+3}{x^4-x^3}dx=\int\dfrac{-4}{x}dx+\int\dfrac{-3}{x^2}dx+\int\dfrac{-3}{x^3}dx+\int\dfrac{4}{x-1}dx=$

$=-4\int\dfrac{1}{x}dx-3\int\dfrac{1}{x^2}dx-3\int\dfrac{1}{x^3}dx+4\int\dfrac{1}{x-1}dx=$ (Todas Inmediatas)

$=-4\int \dfrac{1}{x}dx-3\int x^{-2}dx-3\int x^{-3}dx+4\int\dfrac{1}{x-1}dx=$

$=-4\ln |x|-3\dfrac{x^{-1}}{-1}-3\dfrac{x^{-2}}{-2}+4\ln |x-1|+C=$

$=-4\ln |x|+\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{2x^2}+4\ln |x-1|+C$

- Caso 3. Hay raíces complejas.

Veamos que pasa si al calcular las raíces del denominador obtengo alguna fracción irreducible de la siguiente forma.

$\int \dfrac{P(x)}{Q(x)} dx=\int \dfrac{Mx+N}{ax^2+bx+c}dx$

donde $Q(x)=ax^2+bx+c$ no se puede factorizar más. Esto significa que sus raíces son complejas y este tipo de integrales se van a dividir en la suma e un logaritmo y una arcotangente. Por tanto, lo primero que haremos es separar la integral en dos. Veamos todo esto a través de un ejemplo.

Ejemplo

$\int \dfrac{3x+2}{x^2+x+2}dx=3\int \dfrac{x}{x^2+x+2} dx+ 2\int \dfrac{1}{x^2+x+2} dx$

La primera suma corresponde al logaritmo y la segunda a la arcotangente. Vamos a resolver primero la primera

Como la derivada de $x^2+x+2$ es $2x+1$ , lo que vamos a hacer es multiplicar dentro de la integral por 2 y dividir fuera por 2, y también vamos a sumar y restar 1. De manera que obtenga lo que busco pero sin alterar nada, ya que la expresión que quedará será equivalente.

$\dfrac{3}{2}\int \dfrac{2x+1-1}{x^2+x+2} dx+ 2\int \dfrac{1}{x^2+x+2} dx$

Y vuelvo a separar la primera en sumas pero dejando una con denominador $2x+1$ que era el deseado.

$\dfrac{3}{2}\int \dfrac{2x+1}{x^2+x+2} dx-\dfrac{3}{2}\int \dfrac{1}{x^2+x+2} dx+ 2\int \dfrac{1}{x^2+x+2} dx$

Con esta transformación la primera integral sería inmediata, ya que el numerador es la derivada del denominador. Y las otras dos integrales son iguales por lo que se podrían sumar sus coeficientes y dejarlo como una, hagámoslo.

$\dfrac{1}{2}\ln |x^2+x+2|+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{x^2+x+2} dx$

Tratemos la integral que nos ha quedado por separado. En la cual vamos a intentar buscar la arcotangente.

$I=\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+x+2} dx$ Lo primero que vamos a hacer es obtener las raíces complejas del denominador

$x^2+x+2=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\dfrac{-1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot$ i (Raíces complejas)

Llamemos a $p=\dfrac{-1}{2}$ y $q=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ y hacemos el siguiente cambio

$ax^2+bx+c=q^2+(x-p)^2$

En nuestro ejemplo sería:

$x^2+x+2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2x+1}{2}\right)^2$

Sustituyo en la integral

$\int \dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2x+1}{2}\right)^2}dx$

Divido el denominador por $q^2=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ que sería lo mismo que multiplicar dentro de la integral, por lo que tengo que dividir fuera para contrarestar

$\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\displaystyle\int \dfrac{1}{\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2x+1}{2}\right)^2}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}}dx=\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\int \dfrac{1}{1+\left(\dfrac{\dfrac{2x+1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)^2}dx =$

$\dfrac{4}{3}\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\left( \dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}dx$

La derivada de $\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ , por tanto, multiplico y divido por $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

$\dfrac{4}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\displaystyle\int \dfrac{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}{1+\left( \dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}dx=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)$

Volviendo a lo que teníamos:

$\int \dfrac{3x+2}{x^2+x+2}dx=\dfrac{1}{2}\ln |x^2+x+2|+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{x^2+x+2} dx=$

$=\dfrac{1}{2}\ln |x^2+x+2|+\dfrac{1}{2}\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C=$

$=\dfrac{1}{2}\ln |x^2+x+2|+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C$

¡Nota! En una función racional pueden presentarse conjuntamente los tres casos que acabamos de ver al mismo tiempo. Sería algo así:

$\dfrac{R(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{x^n}+\dfrac{B}{x^{n-1}}+...+\dfrac{C}{x-a}+\dfrac{Mx+N}{ax^2+bx+c}$

Para resolverlo habría que hacer el cálculo de cada una de ellas por separado una vez que calculemos previamente A, B, C, M, N… haciendo para ello el m.c.m.

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