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1 Dominios de Funciones

Dominios de Funciones

El dominio de una función que denotamos por $Dom f$ son todos los puntos que puede tomar la variable independiente. Es el conjunto de valores para los que está definida la función, podemos expresarlo de manera formal de la siguiente forma:

$Dom f =\{x\in R/\exists f(x)\}$

Esto se lee de la siguiente forma: «El dominio de $f$ es igual a los números pertenecientes al conjunto de los números reales tales que existe su imagen mediante $f$ ».

Tablas para calcular Dominios de funciones

Dadas dos funciones, $f$ y $g$ , veamos en la siguiente tabla como afecta las operaciones con funciones a sus dominios:

Operaciones	Dominios de funciones
Suma: $f(x)+g(x)$	$Dom(f+g)=Dom f\cap Dom g$
Producto: $f(x)\cdot g(x)$	$Dom(f\cdot g)=Dom f\cap Dom g$
Cociente: $\dfrac{f(x)}{g(x)}$	$Dom\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=Dom f\cap Dom g-\{x\in R/g(x)=0\}$

Utilizando la tabla anterior y la siguiente podemos obtener el dominio de cualquier función:

Funciones	Dominios de funciones
$f(x)=p(x)$ , siendo $p(x)$ polinomio	$Dom f = R$
$f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ , siendo $p(x),q(x)$ polinomios	$Dom f =R-\{x\in R/q(x)=0\}$
$f(x)=\sqrt[n]{g(x)}$	$n=impar \Rightarrow Dom f=Dom g$ $n=par \Rightarrow Dom f=\{x\in R/g(x)\geq 0\}$
$f(x)= \sin(g(x))$	$Dom f = Dom g$
$f(x)= \cos(g(x))$	$Dom f = Dom g$
$f(x)= \tan(g(x))$	$Dom f = R - \{x\in R / g(x)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z\}=$ $=\{x\in R/x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z\}$
$f(x)= \log_a g(x)$ , $a>0$ , $a\neq 1$	$Dom f =\{x\in R / g(x)>0\}$
$f(x)= a^{g(x)}$ , $a>0$ , $a\neq 1$	$Dom f = Dom g$

Veamos los dominios de las funciones elementales con más detalle:

Funciones Polinómicas

El dominio de este tipo de funciones es todo el conjunto de los números reales. $Dom f=R$

¡Practica! Calcula el dominio de las siguientes funciones:

$f(x) = 2x -1$ $f(x) = x^2 - 2x + 1$ $f(x) = (x-2)^2$ $f(x) = x^5-3x^2+x-5$

Funciones Racionales Fraccionarias

El dominio de estas funciones es todo el conjuntos de los números reales menos los números que anulan el denominador. Los llamados ceros del denominador.

Para hallar estos números únicamente habrá que igualar a cero el denominador y resolver la ecuación resultante.

Ejemplo: $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ , como he dicho, igualamos el denominador a cero, $x-3=0$ y resolvemos la ecuación resultante, en este caso es muy sencilla, $x-3=0\Rightarrow x=3$ , el dominio vendrá dado por todo $R$ menos este punto. Se denota de la siguiente manera:

$Dom f= R-\{3\}$

¡Practica! Calcula el dominio de las siguientes funciones:

$f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-5}$ $f(x)=\dfrac{x^2-1}{(x-2)^2}$ $f(x)=\dfrac{x}{x^2-7x+12}$ $f(x)=\dfrac{x^2-3}{x^3-2x^2-x+2}$

Funciones Radicales o Irracionales

En este tipo de funciones hay que hacer una primera distinción dependiendo del índice del radical.

Si el índice es IMPAR el dominio de la función se reduce a calcular el dominio del radicando.

Ejemplo: $f(x)=\sqrt[3]{x^2+3x-2}$ puesto que el índice es impar $n=3$ y el radicando se trata de una función polinómica (vistas anteriormente) tenemos que, $Dom f = R$ .

Otro ejemplo: $f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{2x-1}{x^2-4}}$ puesto que el índice es impar $n=3$ , el dominio vendrá dado por el dominio del radicando, en este caso, el radicando es una función fraccionaria (vistas anteriormente). Procedo a calcular el dominio del radicando:

Para ello, igualo el denominador a cero y resuelvo la ecuación resultante,

$x^2-4=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{4} \Rightarrow x=\pm 2$ , por tanto, tenemos que

$Dom f= R-\{-2,+2\}$

Si el índice es PAR se procede de forma diferente. En este caso tendríamos que exigirle a nuestro radical la restricción de que sea mayor o igual a cero. Lo que implica que el cálculo de este tipo de dominios se reduce a resolver una inecuación. Veamos unos ejemplos:

Ejemplo: $f(x)=\sqrt{x^2-4}$ puesto que el índice es par $n=2$ tengo que ver los puntos donde el radicando sea mayor o igual a cero, esto es, $x^2-4\geq 0$ , para resolver esta inecuación calculo las raíces del polinomio $p(x)=x^2-4\Rightarrow x^2-4=0 \Rightarrow$ $x^2=4 \Rightarrow x=\pm\sqrt{4} \Rightarrow x=\pm 2$ luego, represento cada uno de los valores obtenidos en la recta númerica, la cual, queda dividida en 3 intervalos y en cada uno de ellos compruebo el signo de $p(x)$ para un punto cualquiera de cada intervalo.

Por tanto, el dominio de la función serán los puntos donde $p(x)\geq 0$ que son los que he representado en la foto anterior con un signo +. Escribamoslo de manera formal

$Dom f = (-\infty,-2]\cup [2,+\infty)$ (Utilizamos corchetes puesto que es mayor o igual)

Ejemplo: $f(x)=\sqrt{\dfrac{2x-1}{x^2-4}}$ puesto que el índice es par $n=2$ tengo que ver los puntos donde el radicando sea mayor o igual a cero, esto es, $\dfrac{2x-1}{x^2-4}\geq 0$ se trata de una inecuación racional. Para resolverla voy a calcular las raíces del numerador $p(x)=2x-1\Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$ y las raíces del denominador $q(x)=x^2-4$ que ya las hemos calculado antes $x=\pm 2$ (estos puntos habrá que quitarlos del dominio puesto que anulan el denominador). Luego, representamos en la recta numérica todos los puntos obtenidos y procedemos a hacer lo mismo que en el ejemplo anterior pero habrá que tener cuidado con la regla de los signos. Veamoslo:

Por tanto, el dominio de la función serán los puntos donde $\dfrac{2x-1}{x^2-4}\geq 0$ que son los que he representado en la foto anterior con un signo + (verde). Escribamoslo de manera formal

$Dom f = (-2,\dfrac{1}{2}]\cup (2,+\infty)$ (Como he dicho, el $\pm 2$ abierto puesto que anulan el denominador).

¡Practica! Calcula el dominio de las siguientes funciones:

$f(x)=\sqrt{\dfrac{3x-5}{x^2-9}}$ $f(x)=\sqrt{x^2-25}$ $f(x)=\sqrt[3]{\dfrac{x}{x^2-7}}$ $f(x)=\sqrt[3]{x^3-2x^2-x+2}$

Funciones trigonométricas

El dominio de este tipo de funciones depende de a que función trigonométrica a la que nos estemos refiriendo.

Si nos referimos a las funciones $f(x)=\sin(x)$ y $f(x)=\cos(x)$ el dominio es todo el conjunto de los número reales. Ahora bien, si la función seno o coseno viene como producto de una composición de funciones entonces habrá que estudiar el dominio de la otra función. Si $f(x)=\sin(g(x))$ o $f(x)=\cos(g(x))$ el dominio vendrá dado por el dominio de $g(x)$ . Veamos un ejemplo de ello:

Ejemplo: $f(x)=\sin\left(\dfrac{2x+1}{x^2-4}\right)$ esta función se trata de una composición de funciones elementales. Una función fraccionaria compuesta con la función seno, el dominio vendrá dado por la función fraccionaria.

El dominio de $g(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-4}$ hemos visto como se calcula en el apartado de funciones fraccionarias y es $Dom g=R-\{\pm 2\}$

Una vez calculado el dominio de $g(x)$ habría que exigirle a estos puntos la condición del dominio del seno, pero el dominio de seno es todo $R$ . Por tanto, el dominio de $f(x)=\sin\left(\dfrac{2x+1}{x^2-4}\right)$ será

$Dom f = R-\{\pm 2\}$

De la misma forma se razona si fuese para el coseno.

Resumiendo, siempre que tengamos una función del tipo $f(x)=\sin(g(x))$ o $f(x)=\cos(g(x))$ el dominio vendrá dado por el dominio de $g(x)$ .

La función tangente, como sabemos del tema de trigonometría es, $\tan x=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ se trata de un cociente por lo que habrá que eliminar del dominio los puntos que anulan el denominador. Tales puntos son los que cumplen que $\cos(x)=0$ y como ya vimos en el tema de trigonometría el coseno se anula para $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ con $k\in Z$ .

Si tenemos una composición de funciones $f(x)=\tan(g(x))$ habrá que quitar los puntos para los que $cos(g(x))=0$ y para calcular estos puntos igualaremos $g(x)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ y despejaremos la variable $x$ .

$Dom f = R - \{x\in R / g(x)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z\}=$

$=\{x\in R/x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z\}$

Veamos algunos ejemplos de funciones trigonométricas.

Ejemplo: $f(x)=\sin(2x-5)$ el dominio de esta función como hemos explicado anteriormente viene dado por el dominio de la función polinómica. Por lo que sería $Dom f = R$

Ejemplo: $f(x)=\cos\left(\dfrac{x}{x-3}\right)$ el dominio de esta función se reduce al estudio del dominio de la función fraccionaria. Por lo que sería $Dom f = R-\{3\}$

Ejemplo: $f(x)=\tan(2x+3)$ para calcular el dominio de esta función tendremos que buscar los puntos que hacen que $\cos(2x+3)=0$ ya que realmente nuestra función la podemos ver como $f(x)=\dfrac{\sin(2x+3)}{\cos(2x+3)}$ . Calculemos por tanto los puntos que anulan al denominador:

Para ello, igualamos $2x+3=\dfrac{\pi}{2}$ (ya que el coseno se anula en $\dfrac{\pi}{2}$ ) y despejamos la variable $x$ , esto es, $2x+3=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}-3 \Rightarrow x=\dfrac{\pi-6}{4}$ recordemos que el coseno se anula cada $k\pi$ con $k\in Z$ . Por lo que el dominio buscado será:

$Dom f = R-\{\dfrac{\pi-6}{4}+k\pi$ , $k\in Z\}$ $=\{x\in R/x\neq \dfrac{\pi-6}{4}+k\pi$ , $k\in Z\}$

¡Practica! Calcula el dominio de las siguientes funciones:

$f(x)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2-25}\right)$ $f(x)=\sin(\sqrt{1-x^2})$ $f(x)=\cos\left(\sqrt{\dfrac{16-x^2}{x-1}}\right)$ $f(x)=\tan(3x-2)$

Funciones exponenciales

El dominio de estas funciones $f(x)=a^{g(x)}$ con $a>0$ y $a\neq 1$ se limita a calcular el dominio de la función que hay en el exponente. Por tanto, podemos decir que

$Dom f = Dom g$

Ejemplo: $f(x)=e^x$ el dominio de esta función viene dado por el dominio de la función que hay en el exponente, en este caso es polinómica por lo que

$Dom f = R$

Ejemplo: $f(x)= 2^{\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}$ en esta caso tenemos la composición de tres funciones elementales. Exponencial, trigonométrica (seno) y fraccionaria, para leer este tipo de funciones se empieza de dentro hacía afuera, se trata de una función fraccionaria compuesta con la función seno compuesta a su vez con una exponencial. Tanto para la exponencial como para la trigonométrica el dominio sería todo $R$ por lo que nuestro dominio va a depender de la restricción que viene dada por la función fraccionaria. Que en este caso en concreto puede tomar todos los números reales menos el cero. Por lo que el dominio buscado es

$Dom f = R-\{0\}$

¡Practica! Calcula el dominio de las siguientes funciones:

$f(x)=e^{x^2-2x+3}$ $f(x)=2^{\frac{\sqrt{2x-1}}{3x-2}}$ $f(x)=3^\sin\left(\sqrt{\frac{25-x^2}{x-2}}\right)$ $f(x)=e^\tan(3x-2)$

Funciones logarítmicas

El dominio de este tipo de funciones, $f(x)=\log_a (g(x))$ con $a>0$ y $a\neq 1$ , viene dado por

$Dom f =\{x\in R / g(x)>0\}$ recordemos que el argumento del logaritmo $(g(x))$ tiene que ser mayor que cero. Por lo que el cálculo del dominio de este tipo de funciones se reducirá a la resolución de la siguiente inecuación $g(x)>0$ .

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo: $f(x)=\log (2x-3)$ para hallar el dominio le exigiremos al argumento que sea mayor que cero, por lo que $2x-3>0\Rightarrow 2x>3\Rightarrow x>\dfrac{3}{2}$ , por lo que el dominio de la función será la siguiente

$Dom f =\{x\in R/x>\dfrac{3}{2}\}$ hay que tener cuidado de poner el > estricto ya que no puede ser igual a cero.

Ejemplo: $f(x)=\log\left(\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2-x-6}}\right)$ para hallar el dominio tenemos que calcular los puntos que cumplen que $\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2-x-6}}>0$ que a su vez son los que cumplen $\dfrac{x^2-1}{x^2-x-6}>0$ . Para resolver esta inecuación vamos a calcular las raíces del numerador $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$ y las raíces del denominador $x^2-x-6=0\Rightarrow x=-2$ y $x=3$ .

Luego, representamos en la recta numérica todos los puntos obtenidos y procedemos a evaluar la función para un punto cualquiera de cada uno de los intervalos que se han formado. Veamoslo: