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1 Asíntotas

Asíntotas

Introducción

Me gustaría empezar este apartado con una definición de asíntota muy bonita que encontré un día por la red.

Asíntota es un término con origen en un vocablo griego que hace referencia a algo que no tiene coincidencia.

En matemáticas, una asíntota es una recta que en un punto infinitamente lejano tiende a aproximarse más y más a una curva.

Cuando realizamos el estudio de una función y calculamos el comportamiento de ésta en puntos infinitamente lejanos, nos damos cuenta que en algunas ocasiones parece que se acercan a una recta. Es más, cuando la dibujamos acabamos haciendo una linea recta, pues bien, esa línea recta a la que tiende la función en puntos infinitamente alejados se llama asíntota. Por tanto, una asíntota es una recta a la que tiende una función.

Como ves, me refiero a puntos «infinitamente lejanos», por lo que para el estudio de las asíntotas vamos hacer uso del cálculo de límites, por tanto, esta es una aplicación directa de los límites. Si has llegado aquí sin leer la entrada de límites, te aconsejo que le eches un ojo.

Procedamos a ver los diferentes tipos de asíntotas que nos podemos encontrar.

Asíntota Horizontal

Después de leer la introducción podemos deducir que este tipo de asíntota va a ser una recta horizontal, por tanto, una recta paralela al eje $X$ . Lo que significa que su expresión analítica será de la forma $y=k$ con $k\in R$ .

Si la función tiende a acercarse a una recta horizontal la única posibilidad para que ocurra esto es cuando la $x$ crece infinitamente o decrece infinitamente. Por tanto, para el estudio de la asíntota horizontal habrá que calcular el límite cuando $x\rightarrow\infty$ , y si sé que la recta es $y=k,\quad k\in R$ . Implica que

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)=k$

Siempre que dicho límite sea un valor real, ese valor me dará la asíntota horizontal que será la recta $y=k$ . Por tanto, la condición para que exista asíntota horizontal es que el valor del límite sea un número.

Puede haber funciones que tengan una asíntota horizontal bilaterial igual (misma asíntota en $\pm\infty$ ), bilateral diferente (distinta asíntota en $\pm \infty$ ) o unilateral (asíntota horizontal solo para $+\infty$ ó $-\infty$ ). Veamos gráficas de funciones donde vienen recogidos los diferentes casos mencionados:

Recordemos que el comportamiento del límite cuando $x\rightarrow +\infty$ no tiene porqué coincidir con cuando $x\rightarrow -\infty$ . Por lo general, para estudiar las asíntotas horizontales haremos el límite para cuando $x\rightarrow \infty$ sin diferenciar el signo, a no ser que estemos frente a una función definida a trozos, exponencial o logarítmica. En estos casos, habrá que hacer el $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x)$ y $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x)$ .

Otro de los puntos interesantes que hay que tratar es saber por donde se acerca la traza de la función a la asíntota, si por arriba o por abajo. Veamos en la siguiente imagen a lo que me refiero:

El objetivo es ver si cuando $x\rightarrow +\infty$ la traza de la función se acerca por arriba o por abajo, lo mismo para $-\infty$ . Para ello, lo que vamos a hacer es una traslación vértical de nuestra función de manera que la asíntota quede sobre el eje $X$ .

Y lo que habrá que ver es si al sustituir $x$ por $\pm\infty$ me da un valor mayor que cero o menor que cero.

Veamos un ejemplo de esto:

Ejemplo: Vamos a calcular la asíntota horizontal de la función $f(x)=\dfrac{5x-3}{x-2}$ , para ello hagamos el límite para cuando $x\rightarrow\infty$ .

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\dfrac{5x-3}{x-2}=5$ (Indeterminación tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$ , puesto que se trata de un cociente de polinomios no hago distinción entre $\pm \infty$ )

Por tanto, la función tiene una asíntota horizontal $y=5$ . Veamos ahora el comportamiento de la traza de la función en $\pm \infty$ . Realizamos una traslación vertical de 5 unidades de nuestra función.

$f(x)-5=\dfrac{5x-3}{x-2}-5=\dfrac{7}{x-2}$ una vez obtenida la expresión final sustituyo por $+\infty$ y por $-\infty$ con el único objetivo de ver el signo del resultado.

Si $x\rightarrow +\infty\Rightarrow \dfrac{7}{+\infty-2}=+$
Si $x\rightarrow -\infty\Rightarrow \dfrac{7}{-\infty-2}=-$

Por tanto, concluyo que cuando $x\rightarrow +\infty$ la traza se acerca a la asíntota por arriba, y cuando la $x\rightarrow -\infty$ la traza se acerca a la asíntota por abajo.

¡IMPORTANTE! La traza de la función puede cruzar a la asíntota horizontal.

Asíntota Vertical

Se trata de una recta vertical de la forma $x=k$ con $k\in R$ , tenemos que pensar por tanto que buscamos un valor de $x$ para el cual el valor de la función cuando $x$ se acerca a él por la derecha o por la izquierda vale $+\infty$ o $-\infty$ . Esto es,

$\lim\limits_{x\rightarrow k^+}f(x)=\pm \infty$ ó $\lim\limits_{x\rightarrow k^-}f(x)=\pm \infty$

Veamos varias gráficas de distintas funciones, todas con una asíntota vertical en $x=7$ .

Como puedes observar, con que un límite lateral valga $\infty$ ese valor de $x$ será asíntota vertical. Además, los límites laterales pueden ser iguales, como se ve representado en la última gráfica.

El valor de $x$ para el cual existe asíntota vertical no puede estar en el dominio de la función. Por lo que podemos deducir que este tipo de asíntotas se estudiarán para los puntos que no estén en el dominio.

Por tanto, lo primero que tengo que calcular es el dominio de la función. Ya que los valores aislados que no están en el dominio son posibles candidatos. Por ejemplo, en las funciones fraccionarias estudiaría los puntos que anulan el denominador.

Otros puntos que hay que tener en cuenta a la hora de estudiar este tipo de asíntotas son los extremos de los intervalos del dominio de la función que no pertenezcan al dominio.

Algo importante a tener en cuenta es que una función puede no tener asíntota vertical, tener una, dos, …, o infinitas, y al contrario que pasaba con la asíntota horizontal, esta asíntota no puede ser cruzada, ya que son puntos que no están en el dominio. Veamos un ejemplo de como calcular las asíntotas verticales.

Ejemplo: Vamos a calcular la asíntota vertical de la función $f(x)=\dfrac{5x-3}{x-2}$ , para ello lo primero que vamos a hacer es calcular el dominio de la función.

$Dom f=R-\{2\}$ ya que se trata de una función fraccionaria.

El siguiente paso sería estudiar los límites laterales para cuando $x\rightarrow 2$ . Hagamoslo:

$\lim\limits_{x\rightarrow 2^-}\dfrac{5x-3}{x-2}=-\infty$ y $\lim\limits_{x\rightarrow 2^+}\dfrac{5x-3}{x-2}=+\infty$

Podemos concluir que hay una asíntota vertical para $x=2$ , ya que cuando me acerco a este punto ya sea por la derecha o por la izquierda la traza de la función se va a $\infty$ .

Como veis este tipo de asíntotas aparece en las indeterminaciones del tipo $\dfrac{k}{0}=\infty$ en las cuales había que calcular los límites laterales para averiguar el signo del $\infty$ .

Asíntota Oblicua

Se trata de una recta que no es paralela a ninguno de los ejes, por tanto, no es ni vertical, ni horizontal. Estamos buscando por tanto, una recta oblicua que su ecuación vendrá dada por $y=mx+n$ con $m\neq 0$ .

La idea intuitiva es que cuando la $x\rightarrow \pm\infty$ la traza de la función se vaya a $\pm\infty$ pero además se acerque cada vez más y más a una recta oblicua. Podéis ver una gráfica de ello:

Para el estudio de este tipo de asíntotas es necesario que no haya asíntota horizontal, ya que cuando hemos visto las asíntotas horizontales exigíamos que cuando $x\rightarrow \pm\infty$ el valor del límite fuese un valor real y en este caso buscamos que sea $\pm\infty$ . Por lo que si en $+\infty$ tenemos una asíntota horizontal nos podemos ahorrar el calculo de la asíntota oblicua para $+\infty$ .

Pero no nos equivoquemos, me estoy refiriendo cuando estudiamos el comportamiento de la función en $+\infty$ ó en $-\infty$ . Puede pasar que una función en $+\infty$ tenga una asíntota oblicua y en $-\infty$ una asíntota horizontal. Porque como hemos dicho ya en varias ocasiones, el estudio en $\pm \infty$ es independiente.

Por lo que para el cálculo de las asíntotas oblicuas el estudio en $\pm\infty$ lo haremos por separado. Veamos los pasos que tenemos que dar para calcularlas.

Como hemos dicho la recta buscada será de la forma $y=mx+n$ , donde

$m=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$

Si este valor es distinto de $0$ y $\pm \infty$ procedo a calcular $n$

$n=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-mx]$

El valor de $n$ tiene que ser distinto de $\pm\infty$ .

¡Nota! De la misma forma se haría para el estudio de cuando $x\rightarrow -\infty$ .

Concluyendo, para que exista asíntota oblicua los límites anteriores tienen que ser números reales, no pueden dar $\infty$ , y además $m\neq 0$ .

¡Nota! Repito, si en el estudio de una función he comprobado que está tiene una asíntota horizontal cuando $x\rightarrow+\infty$ , ya no hace falta que pierda el tiempo en calcular la asíntota oblicua cuando $x\rightarrow +\infty$ , ya que sé que no va a tener por la unicidad del límite. En este caso, solo estudiaría el caso de cuando $x\rightarrow -\infty$

Al igual que hemos hecho en las asíntotas horizontales en las asíntotas oblicuas también habrá que estudiar el comportamiento de la traza de la función, si ésta se acerca por arriba o por abajo a la asíntota para ello habra que hacer una trasformación de nuestra función por $f(x)-(mx+n)$

Y lo que habrá que ver es si al sustituir $x$ por $\pm\infty$ me da un valor mayor que cero o menor que cero.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo: Vamos a calcular la asíntota oblicua de la función $f(x)=\dfrac{5x^2}{x-4}$ . Para ello calculo $m$ y $n$ .

$m=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\dfrac{5x^2}{x-4}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{5x^2}{x^2-4x}=5$

Como el valor de $m=5$ paso a calcular $n$

$n=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-mx]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[\dfrac{5x^2}{x-4}-5x]=lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[\dfrac{20x}{x-4}]=20$

Por tanto, el valor de la asíntota oblicua es $y=5x+20$ cuando $x\rightarrow+\infty$ . Hagamoslo cuando $x\rightarrow -\infty$ aunque en este caso sería la misma:

$m=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{\dfrac{5x^2}{x-4}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{5x^2}{x^2-4x}=5$

$n=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-mx]=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}[\dfrac{5x^2}{x-4}-5x]=lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{20x}{x-4}=20$

Veamos ahora por donde se acerca la traza de la función en $+\infty$ y en $-\infty$ . Para ello hacemos la siguiente transformación:

$f(x)-(mx+n)=\dfrac{5x^2}{x-4}-(5x+20)=\dfrac{5x^2}{x-4}-\dfrac{(5x+20)(x-4)}{x-4}=$

$=\dfrac{5x^2}{x-4}-\dfrac{5x^2-20x+20x-80}{x-4}=\dfrac{80}{x-4}$

una vez obtenida la expresión final sustituyo por $+\infty$ y por $-\infty$ con el único objetivo de ver el signo del resultado.

Si $x\rightarrow +\infty\Rightarrow \dfrac{80}{+\infty-4}=+$
Si $x\rightarrow -\infty\Rightarrow \dfrac{80}{-\infty-4}=-$

Por tanto, concluyo que cuando $x\rightarrow +\infty$ la traza se acerca a la asíntota por arriba, y cuando la $x\rightarrow -\infty$ la traza se acerca a la asíntota por abajo.

¡Practica! Haz un estudio de las asíntotas que tienen las siguientes funciones.

$f(x)=\dfrac{1}{x},\quad f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2-4},\quad f(x)=\dfrac{x^3+2x-4}{(x-2)^2}$